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In ambito commerciale esistono due tipi di sconto:

  • Lo sconto mercantile
  • Lo sconto commerciale

 

LO SCONTO MERCANTILE

Lo sconto mercantile è una riduzione di prezzo che il venditore applica al compratore.
Sono esempi di sconti mercantili gli sconti applicati in fattura sull’importo delle merci.
La relazione fondamentale per risolvere i problemi con lo sconto mercantile è: Prezzo listino   Sconto mercantile  =  Prezzo pagato \text{Prezzo listino } - \text{ Sconto mercantile } = \text{ Prezzo pagato} In questa formula:

  • il Prezzo di listino è il prezzo dichiarato dal venditore prima di applicare lo sconto
  • lo Sconto mercantile è lo sconto calcolato dal venditore sul prezzo di listino
  • il Prezzo pagato è il prezzo effettivamente pagato dal compratore

La proporzione per calcolare lo sconto mercantile è: 1 0 0 : r =  Prezzo di listino : Sconto mercantile 100 : r = \text{ Prezzo di listino} : \text{Sconto mercantile} Dove r r è il tasso di sconto mercantile; come si vede, il tasso è espresso in percentuale.

 

PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DELLO SCONTO MERCANTILE E DEL PREZZO PAGATO

Un tablet è esposto in un negozio con un prezzo di listino di 400 €. Sapendo che il negozio applica uno sconto del 5%, calcolare il prezzo pagato dai clienti per l’acquisto del tablet.

Dati

Prezzo di listino = 400 €
r = 5%
Prezzo pagato = ?

Si calcola lo sconto impostando la proporzione: 1 0 0 : 5 = 4 0 0 : X     X = 4 0 0 5 1 0 0 = 2 0 100 : 5 = 400 : X \ \Rightarrow \ X = \frac{400 \cdot 5} {100} = 20

Da qui ricaviamo che Prezzo pagato  =  Prezzo di listino   Sconto mercantile  = 4 0 0 2 0 = 3 8 0 \text{Prezzo pagato } = \text{ Prezzo di listino } - \text{ Sconto mercantile } = 400 - 20 = 380 .

Il prezzo pagato dai clienti per l’acquisto di un tablet è quindi di 3 8 0 380

Per calcolare direttamente il prezzo pagato o per risolvere problemi inversi è necessario fare ricorso alla seguente proporzione: 1 0 0 : ( 1 0 0 r ) =  Prezzo di listino  :  Prezzo pagato  100 : (100 - r) = \text{ Prezzo di listino } : \text{ Prezzo pagato } oppure, usando le proprietà delle proporzioni, la proporzione equivalente ( 1 0 0 r ) : 1 0 0 =  Prezzo pagato  :  Prezzo di listino  (100 - r) :100 = \text{ Prezzo pagato } : \text{ Prezzo di listino }

 

PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DEL PREZZO PAGATO

Risolvere il problema precedente in un unico passaggio.

 

Applichiamo la proporzione 1 0 0 : ( 1 0 0 r ) =  Prezzo di listino  :  Prezzo pagato  100 : (100 - r) = \text{ Prezzo di listino } : \text{ Prezzo pagato } al problema precedente: 1 0 0 : 9 5 = 4 0 0 : X 100 : 95 = 400 : X , da cui arriviamo a X = 4 0 0 9 5 1 0 0 = 3 8 0 X = \frac{400 \cdot 95 }{ 100 } = 380 . Il prezzo pagato dai clienti per l’acquisto di un tablet è 380 €


PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL PREZZO DI LISTINO

Una famiglia ha pagato una vacanza al mare 2.250 €. Sapendo che ha ottenuto uno sconto del 10%, calcola il prezzo di listino.

Dati

Prezzo pagato = 2.250 €
r = 10%
Prezzo di listino = ?

 

Per risolvere questo problema, applichiamo la seguente proporzione: 1 0 0 : ( 1 0 0 r ) =  Prezzo di listino  :  Prezzo pagato 100 : (100 - r) = \text{ Prezzo di listino } : \text{ Prezzo pagato} . Sostituendo i dati in nostro possesso, otteniamo 1 0 0 : ( 1 0 0 1 0 ) = X : 2 2 5 0     X = 2 2 5 0 1 0 0 9 0 100 : (100 - 10) = X : 2250 \ \Rightarrow \ X = \frac{2250 \cdot 100}{90} Il prezzo di listino del viaggio è 2.500 €

 

PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DELLO SCONTO MERCANTILE

Una squadra di calcio ha acquistato un set di magliette da allenamento pagando complessivamente 900 €. Sapendo che è stato applicato uno sconto del 10%, calcolare l’importo dello sconto ottenuto.

Dati

Prezzo pagato = 900 €
r = 10%
Sconto mercantile = ?


Ancora una volta, applichiamo una proporzione. Questa volta però, siccome dobbiamo calcolare l’importo dello sconto, è necessario usare la seguente: ( 1 0 0 r ) : r =  Prezzo pagato  :  Sconto mercantile  (100 - r) : r = \text{ Prezzo pagato } : \text{ Sconto mercantile } Sostituendo i dati in nostro possesso, abbiamo la seguente formula: 9 0 : 1 Suola Scarpe Eva Pelle Vibram Crocus 41 Scamosciata In Akron Moda Viola Multiplus 0 = 9 0 0 : X     X = 9 0 0 1 0 9 0 = 1 0 0 90 : 10 = 900 : X \ \Rightarrow \ X = \frac{900 \cdot 10 }{ 90 } = 100 Lo sconto ottenuto è di 100 €

 

LO SCONTO COMMERCIALE

Lo sconto commerciale è il compenso che spetta a chi paga un debito prima della scadenza. La differenza fondamentale fra sconto mercantile e sconto commerciale è che quest’ultimo dipende dal tempo.

 

La formula per calcolare l’importo dello sconto commerciale dipende pertanto da come si calcola il tempo. Abbiamo quindi quattro formule:

  • S c = C r t 1 0 0 Sc = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 100 }} se il tempo è espresso in anni
  • S c = C r t 1 2 0 0 Sc = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 1200 }} se il tempo è espresso in mesi
  • S c = C r t 3 6 5 0 0 Sc = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 36500 }} se il tempo è espresso in giorni calcolati secondo il calendario dell’anno civile
  • S c = C r t 3 6 0 0 0 Sc = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 36000 }} se il tempo è espresso in giorni calcolati secondo il calendario dell’anno commerciale (considerando tutti i mesi di 30 giorni)

In queste formule:

  • S c Sc è l’ammontare dello sconto commerciale
  • C C è il valore nominale del debito, cioè l’importo intero che il debitore avrebbe dovuto pagare a scadenza
  • r r è il tasso di sconto commerciale
  • t t è il tempo di anticipo con cui si paga il debito

 

La somma pagata effettivamente dal debitore al creditore è detta Valore Attuale (che nelle formule indicheremo con V A VA ); essa si calcola in questo modo: V A = C S c VA = C - Sc Sostituendo a S c Sc la formula dello sconto commerciale si ha: V A = C C r Scarpe Akron Scamosciata Pelle 41 Viola Eva Vibram Multiplus In Crocus Suola Moda t 1 0 0 VA = C – \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 100 }} . Raccogliendo a fattor comune la C C : V A = C ( 1 r t 1 0 0 ) VA = C \cdot \displaystyle{\left( 1 - \frac{ r \cdot t }{ 100 }\right)} . Calcolando il minimo comune denominatore dentro parentesi: V A = C ( 1 0 0 r t 1 0 0 ) VA = C \cdot \left( \frac{100 - r \cdot t}{100} \right) Da notare che nella formula precedente abbiamo sottointeso che il tempo t t venisse calcolato in anni: se dovesse essere espresso in altre forme, come in mesi o giorni, al posto di 1 0 0 100 bisognerà indicare il denominatore corretto, come illustrato in precedenza.


Possiamo anche rappresentare uno sconto commerciale graficamente. Avremo un diagramma di questo tipo:

 

PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DEL VALORE ATTUALE

Il 12 gennaio Tizio salda anticipatamente un proprio debito di 20.000 € scadente il 30 ottobre dello stesso anno. Sapendo che ha ottenuto uno sconto del 10%, calcolare la somma effettivamente pagata.


Impostiamo il grafico:

Si può risolvere il problema in due modi.

 

Il primo modo consiste nel calcolare prima lo sconto commerciale e poi il valore attuale.

È innanzitutto necessario determinare i giorni intercorrenti fra il 12 gennaio e il 30 ottobre: Gennaio 1 9 Febbraio 2 8 Marzo 3 1 Aprile 3 0 Maggio 3 1 Giugno 3 0 Luglio 3 1 Agosto 3 1 Settembre 3 0 Ottobre 3 0 2 9 1 \begin{aligned} \text{Gennaio} & \quad 19 \\\text{Febbraio} & \quad 28 \\\text{Marzo} & \quad 31 \\\text{Aprile} & \quad 30 \\\text{Maggio} & \quad 31 \\\text{Giugno} & \quad 30 \\\text{Luglio} & \quad 31 \\\text{Agosto} & \quad 31 \\\text{Settembre} & \quad 30 \\\text{Ottobre} & \quad 30 \\& \quad 291\end{aligned} Siccome abbiamo calcolato il tempo trascorso come giorni di un anno solare, il denominatore delle formule per il calcolo dello sconto commerciale sarà 3 6 5 0 0 36500 : avremo quindi S c Pelle Multiplus Scarpe 41 Crocus Viola Akron In Vibram Suola Scamosciata Eva Moda = C r t 3 6 5 0 0 = 2 0 . 0 0 0 1 0 2 9 1 3 6 5 0 0 = 1 5 9 4 , 5 2 Sc = \frac{C \cdot r \cdot t }{ 36500} = \frac{20.000 \cdot 10 \cdot 291 }{ 36500 }= 1594,52 Quindi si procede a calcolare il Valore Attuale: V Pelle Crocus Scarpe Suola Vibram 41 Multiplus In Eva Viola Scamosciata Moda Akron A = C S c = 2 0 . 0 0 0 1 . 5 9 4 , 5 2 = 1 8 . 4 0 5 , 4 8 VA = C - Sc = 20.000 - 1.594,52 = 18.405,48 Il secondo modo consiste nell’applicare la formula del Valore Attuale: V A = C ( 3 6 5 0 0 r t 3 6 5 0 0 ) = 2 0 . 0 0 0 ( 3 6 . 5 0 0 1 0 2 9 1 3 6 . 5 0 0 ) = 1 8 . 4 0 5 , 4 8 VA = C \cdot \left(\frac{36500 – r \cdot t }{36500}\right) = 20.000 \cdot \left(\frac{36.500 - 10 \cdot 291 }{ 36.500}\right) = 18.405, 48 La somma effettivamente pagata dal debitore è quindi di 18.405,48 €

 

È possibile ricavare le seguenti formule inverse dello Sconto Commerciale: C = S c 1 0 0 r t r = S c 1 0 0 C t t = S c 1 0 0 C r \begin{aligned}C = Sc \cdot \frac{100 }{ r} \cdot t \\r = Sc \cdot \frac{100 }{ C} \cdot t \\t = Sc \cdot \frac{100 }{ C } \cdot r\end{aligned}

PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL VALORE NOMINALE DEL DEBITO

Tizio ha pagato un debito in anticipo di 30 mesi ottenendo uno sconto del 6%. Sapendo che lo sconto ottenuto ammonta a 7.500 €, calcolare l’importo del debito.

Graficamente:


 

Applicando la formula inversa del valore nominale (e prestando attenzione al fatto che il tempo è calcolato in mesi): C = S c 1 2 0 0 r t = 7 . 5 0 0 1 . 2 0 0 6 3 0 = 5 0 0 0 0 C = Sc \cdot \frac{1200 }{ r } \cdot t = 7.500 \cdot \frac {1.200 }{ 6 } \cdot 30 = 50000 Il valore nominale del debito è quindi di 50.000 €

 

PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL TASSO DI SCONTO

Caio paga 23.700 € per estinguere un proprio debito di 30.000 € scadente dopo 3 anni. Calcolare il tasso di sconto applicato.

Graficamente:


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È necessario calcolare innanzitutto lo sconto commerciale: applicando la formula di definizione, abbiamo che S c = C V A = 3 0 . 0 0 0 2 3 . 7 0 0 = 6 . 3 0 0 Sc = C - VA = 30.000 - 23.700 = 6.300 Applicando ora la formula inversa del tasso di sconto: siccome il tempo è espresso in anni, il denominatore sarà 100. Otteniamo quindi r = S c 1 0 0 C t = 6 . 3 Piatto Delle Marina Jsport Jambu Donne Tulsa Dalla Blu 1Tqqa 0 0 1 0 0 3 0 . 0 0 0 3 = 7 r = Sc \cdot \frac{ 100 }{ C }\cdot{ t } = 6.300 \cdot \frac{ 100 }{ 30.000 } \cdot 3 = 7 Il tasso di sconto applicato è del 7 % 7\% .

 

PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL TEMPO

Sempronio paga anticipatamente un proprio debito di 6.000 € ottenendo uno sconto di 960 €. Sapendo che il tasso di sconto applicato è dell’8%, calcolare i giorni di anticipo con cui è stato pagato il debito.


Graficamente:

 

 

Calcolaremo il tempo in giorni; applicando la formula inversa per ottenere il tempo, quindi, abbiamo che t = S c 1 0 0 C r = 9 6 0 3 6 . 5 0 0 6 . Viola In Moda Eva Crocus Multiplus Scamosciata 41 Pelle Akron Suola Scarpe Vibram 0 0 0 8 = 7 3 0 t = Sc \cdot \frac{100 }{ C } \cdot r = 960 \cdot \frac{ 36.500 }{ 6.000 } \cdot 8 = 730 Il debito è stato pagato con un anticipo di 730 giorni.

 

È infine possibile ricavare la formula inversa per calcolare il valore nominale del debito, quando sono noti il valore attuale, il tasso di sconto e il tempo. Dalla definizione di sconto commercialeabbiamo ricavato che V A = C ( 1 0 0 r t 1 0 0 ) VA = C \cdot \displaystyle{\left(\frac{100 - r \cdot t }{ 100 }\right)} . Esplicitanto ora il valore nominale C C , si ha che: C = V A 1 0 0 1 0 0 r t C = VA \cdot \frac{ 100 }{100 - r \cdot t} In questa formula, il tempo viene calcolato in anni; se venisse calcolato in altre unità, sostituire a 1 0 0 Donne Nero Avvio Liscio Laterale Delle 14 Zip 8632a Timberland 0qXf4Fvn 100 il corrispettivo valore.

 

PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL VALORE NOMINALE DEL DEBITO

Ambrogio paga con un anticipo di 20 mesi un debito su cui ottiene uno sconto del 12%. Sapendo che Ambrogio ha pagato effettivamente 32.000 €, calcolare l’importo del debito.

Graficamente:

 

Il tempo viene calcolare in mesi: applicando correttamente la formula inversa per calcolare C C si ottiene: C = V A 1 2 0 0 1 2 0 0 r t = 3 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 2 0 = 4 0 . 0 0 0 Piani Beige Balletto Metallise Tbs Delle Maline Donne 305 tan qt7cAPvwfA C = VA \cdot \frac{1200 }{1200 - r \cdot t} = 32000 \cdot \frac{ 1200 }{ 1200 - 12 * 20} = 40.000 Il valore nominale del debito è quindi di 40.000 €

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